Das Gefangenendilemma

Habt ihr schon mal was vom Gefangenendilemma gehört?

Das ist nichts Politisches, nichts aus der aktuellen Berichterstattung – ihr habt also nichts verpasst. Es handelt sich dabei vielmehr um ein relativ einfaches Beispiel eines Spiels.

„Wie?“, fragt ihr euch nun? „Wieso geht’s jetzt auf einmal um Spiele?“

Es geht ganz konkret um Spiele im Sinne der Spieltheorie. Die Spieltheorie ist ein Teilgebiet der Mathematik, in dem versucht wird, rationale Entscheidungen für einzelne Agenten in Konfliktsituationen mit mehreren (normalerweise zwei) Agenten zu finden. Darunter kann sich jetzt vermutlich niemand etwas vorstellen, der nicht schon mal etwas mit Spieltheorie zu tun hatte. Deswegen habe ich ein Beispiel für euch: das oben schon erwähnte Gefangenendilemma.

Wir stellen uns zwei Gefangene vor, die zusammen ein Verbrechen begangen haben und nun getrennt voneinander verhört werden, um sich nicht absprechen zu können. Jeder der beiden Gefangenen kann sich dabei entscheiden, das Verbrechen zu gestehen oder es zu leugnen. Folgende Szenarien können dabei eintreten:

  • Beide Gefangenen leugnen das Verbrechen. Ihnen kann dann lediglich ein weniger schweres Vergehen nachgewiesen werden, für das die Strafe nicht so hoch ausfällt.
  • Beide Gefangenen gestehen das Verbrechen. Sie werden streng bestraft, wegen ihres Geständnisses aber nicht mit der Höchststrafe.
  • Ein Gefangener gesteht, einer leugnet. Der Gesteher wird als Kronzeuge unter Polizeischutz gestellt und kommt straffrei davon, während der Leugner mit der Höchststrafe bedacht wird. Dieses Szenario ist symmetrisch für beide Gefangenen.

Wie sollen sich die Gefangenen entscheiden? Wichtig ist, wie oben schon geschrieben: Sie können sich nicht absprechen, wissen also nicht, wie sich der jeweils andere entscheidet. Das, was am Ende für die beiden rauskommt, hängt aber sowohl von ihrer eigenen Entscheidung, als auch von der Entscheidung des anderen ab.

In der Spieltheorie wird für eine solche Konfliktsituation zunächst ein Modell aufgestellt. Für dieses Modell müssen wir wissen, wer an dem „Spiel“ teilnimmt, welche Entscheidungen für die jeweiligen Spieler zur Verfügung stehen und wie die Auswirkungen aller möglichen Situationen für die einzelnen Spieler aussehen. Diese „Auswirkungen“ werden meist als „Nutzen“ bezeichnet – also welchen Nutzen jeder Spieler in den verschiedenen Situationen hat. Der Nutzen ist, da wir rationale Spieler annehmen, jedem der Spieler bekannt, sowohl der eigene als auch der fremde.

Wir wissen:

  • Es nehmen zwei Spieler an diesem Spiel Teil, Gefangener A und Gefangener B.
  • Gefangener A hat die Möglichkeiten „gestehen“ und „leugnen“, Gefangener B hat ebenfalls die Möglichkeiten „gestehen“ und „leugnen“.
  • Den Nutzen messen wir in diesem Beispiel einmal anhand der Jahre, die die beiden in den unterschiedlichen Situationen im Gefängnis verbringen müssen. Wir nehmen an, dass das weniger schwere Verbrechen 2 Jahre Gefängnis bedeutet, die Höchststrafe sind 10 Jahre. Als Kronzeuge sind 0 Jahre im Gefängnis abzusitzen. Das Geständnis als mildernder Umstand führt zu 6 Jahren Gefängnis. Da „Nutzen“ sich eher nach einem positiven Wert anhört, legen wir den Nutzen auf 0 (Kronzeuge), -2 (weniger schweres Verbrechen), -6 (Höchststrafe, aber mildernder Umstand) und -10 (Höchststrafe) fest.

Die übliche Darstellung eines solchen Modells ist eine Tabelle, auch Matrix genannt, genauer: Auszahlungsmatrix bzw. Nutzenmatrix. In dieser Tabelle/Matrix muss das Zusammenspiel der beiden Agenten erkennbar sein, da der Nutzen eines Spielers nicht nur von der eigenen, sondern auch von der Entscheidung des anderen Spielers abhängt.

Die Nutzenmatrix für dieses Spiel schaut mit den obigen Nutzenwerten wie folgt aus:

Gefangenendilemma
Auszahlungsmatrix Gefangenendilemma

Am linken Rand und am oberen Rand stehen die beiden Teilnehmer und ihre jeweiligen Entscheidungsmöglichkeiten. Für jede Kombination ist in den Zellen dann der Nutzen für die beiden Spieler angegeben: links der Nutzen für den „Zeilenspieler“ (Gefangener A), rechts der Nutzen für den „Spaltenspieler“ (Gefangener B). Die unterschiedlichen Farben sollen die Zuordnung nochmal verdeutlichen.

Und was machen wir nun mit diesem Modell?

Wir schauen es scharf an. (Das ist überhaupt eine häufig angewandte Methode, um ein mathematisches Problem zu lösen.) Und nachdem wir es scharf angeschaut haben, fällt uns (vielleicht – hoffentlich – bestimmt) folgendes auf:

Gefangener A weiß nicht, wie Gefangener B sich entscheiden wird. Aber: Egal wie sich B entscheidet, ob B nun gesteht oder leugnet, für A ist es in beiden Fällen besser, zu gestehen. Denn wenn B gesteht, erhält A fürs Gestehen -6, fürs Leugnen jedoch -10; wenn B leugnet, erhält A fürs Gestehen 0, fürs Leugnen -2. Wir vergleichen in diesem Fall die linken Zahlen in der Matrix spaltenweise. Sinnvoll für A ist es also nur, zu gestehen. Man sagt in diesem Fall, dass die Strategie „Gestehen“ die Strategie „Leugnen“ dominiert bzw. andersherum, dass „Leugnen“ von „Gestehen“ dominiert wird.

Die gleiche Argumentation (Vergleich der rechten Zahlen zeilenweise) gilt aber für den Gefangenen B ebenso, da beide die gleichen Entscheidungsmöglichkeiten und den gleichen Nutzen haben. Für B ist es also auch nur sinnvoll, zu gestehen.

Beide gestehen, beide haben einen Nutzen von -6.

Aber, sagt ihr nun, es wäre für beide doch besser, zu leugnen, denn dann hätten beide einen Nutzen von -2 (und der ist größer als -6). Stimmt. Doch wir haben ganz zu Anfang angenommen, dass beide Spieler rational sind und sich nicht absprechen können. Und rationale Spieler spielen niemals dominierte Strategien.

Hätten sich die Gefangenen zuvor absprechen können, hätten sie sich vielleicht darauf geeinigt, beide zu leugnen. Dann würde jeder der beiden nur eine Freiheitsstrafe von zwei Jahren erhalten. Doch selbst unter einer solchen Absprache ist die Strategie, dass beide leugnen, wacklig. Einer der beiden Spieler (oder sogar beide) können im Verhör doch dazu übergeben, zu gestehen, denn dann würde derjenige, der gesteht, überhaupt keine Freiheitsstrafe erhalten (vorausgesetzt der andere leugnet wirklich). Wenn sich allerdings beide nicht an die Absprache halten und den anderen übers Ohr hauen wollen, landen sie wieder beim Punkt Gestehen-Gestehen, der einzigen „sinnvollen“ Strategie.

Hier haben wir also unser Dilemma: Obwohl -2/-2 kollektiv gesehen das beste Ergebnis wäre (sie müssten insgesamt 4 Jahre ins Gefängnis), wird es doch sehr wahrscheinlich auf das Ergebnis -6/-6 hinauslaufen, obwohl das sogar das kollektiv schlechteste Ergebnis darstellt (insgesamt 12 Jahre Gefängnis). So was aber auch …

Natürlich lässt sich nicht für jedes „Spiel“ immer eine strikt dominante Strategie finden. Ein Spiel (hier dürfte der Name nicht für Verwirrung sorgen), für das keine dominante Strategie existiert, ist zum Beispiel Schere-Stein-Papier, das dürfte jeder von euch kennen. Die Spieltheorie kennt hierfür trotzdem eine optimale Strategie. Was denkt ihr, wie die aussieht? Habt ihr eine Strategie für Schere-Stein-Papier?

Ja, Mathematiker können tatsächlich richtige Spielkinder sein ;)

LG Michaela

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12 Kommentare zu „Das Gefangenendilemma

  1. Schön erklärt – ich tue mir mit dem Begriff „Spiel“ im Namen immer schwer, weil Entscheidungen eines Gegenüber nicht antizipieren zu können und dennoch von ihm abzuhängen so viel häufiger in gar nicht spielerischen Situationen auftritt. Ganz typisch ist der Straßenverkehr…

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      1. Wird – zum Glück – weniger. Die Strecke auf der Autobahn hat sich verkürzt und ist auch weniger krass, seit ich Job gewechselt habe.

        Ich bin noch nicht sicher, aber vielleicht bekomme ich bald einen Mit-Autor auf den Highway Tales, der meine alte Pendelstrecke, die vermaledeite A8, künftig bependelt.

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      2. Bei mir hat sich der Arbeitsweg ja von der Straße auf die Schiene verlegt – das hat auch seine Vor- und Nachteile^^
        Ja, die A8 – die hat mir schon die paar Mal gereicht, als ich sie fahren musste/durfte … Es arbeitet sich doch bestimmt viel angenehmer, wenn schon der Weg zur Arbeit entspannter ist. Wobei das natürlich auch vom Job selbst abhängt ;)

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    1. „Tit for tat“ ist in der Tat eine recht erfolgreiche Strategie für wiederholte Spiele – also wenn man z. B. das Gefangenendilemma mehrmals hintereinander spielen würde. Dann kann man getrost erst einmal auf „Leugnen“ setzen und darauf setzen, dass der andere dasselbe tut. Und wenn der andere doch nicht mitspielt, es ihm dann im nächsten Zug heimzahlen. Bei einmalig ausgeführten Spielen erübrigt sich diese Strategie jedoch … Und bei Schere-Stein-Papier nützt sie ebenfalls nicht viel :)

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