Hallo!

Neulich hatte ich in einem Beitrag mal die Gauß’sche Summenformel erwähnt. Ihr wisst schon, das war in dem Beitrag, in dem ich, zumindest in Gedanken, zig verschiedene Macarons gebacken habe … Leider nur in Gedanken … 🙂

Jetzt wollte ich diese ominöse Formel, also die Gauß’sche Summenformel, kurz anhand einer Grafik erklären. Und glaubt mir, die Erklärung wirklich kurz, denn: Mathe kann auch anschaulich.

 

Okay, eine Sache muss ich voraussetzen: Der Flächeninhalt eines Rechtecks errechnet sich aus dem Produkt von Länge und Breite. Das war auch schon die ganze Voraussetzung. Kennt ihr noch, oder?

Die Gauß’sche Summenformel ist die Formel, die ich benutze, wenn ich von 1 aufwärts alle ganzen Zahlen bis zu einer bestimmten ganzen Zahl zusammenzählen möchte, also zum Beispiel die Zahlen von 1 bis 15:

1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+14+15=?

Ist schon ein bisschen mühsam, oder? Die Gauß’sche Summenformel sagt mir, ich muss einfach nur die 15 als die größte Zahl meiner Summe hier für den Buchstaben n einsetzen:

Summe aller ganzen Zahlen von 1 bis n = n*(n+1)/2

Mit der 15 wäre das also 15*(15+1)/2 = 15*16/2 = 15*8 = 80+40 = 120.

So weit noch einmal, was es mit der Gauß’schen Summenformel auf sich hat. ist übrigens nur ein Platzhalter, ich könnte auch x, j oder sonstwas schreiben. Und warum gilt nun diese Formel? Oder fällt sie etwa doch vom Himmel? Natürlich nicht …

Hier einmal eine Grafik für die Summe der ganzen Zahlen von 1 bis 6, dargestellt als Kreise (oder eher Eier^^), die zu einem Dreieck angeordnet sind (ich hatte einfach keine Lust, Kreise bis 15 aufzumalen, deswegen im Bild nur bis zur 6):

Gauß'sche Summenformel Illustration

Die Summe an Kreisen in diesem Dreieck ist genau die Anzahl, die wir ausrechnen wollen. Nimmt man das gleiche Dreieck, also die gleiche Anzahl an Kreisen, noch einmal dazu und dreht dieses zweite Dreieck so, dass sich beide Teile zu einem Rechteck (kein Quadrat, das geht nämlich nicht) ergänzen, kommt man auf folgendes Bild:

Gauß'sche Summenformel Illustration

Die Anzahl an Kreisen in diesem Rechteck ist nun, wie eingangs erwähnt, Länge mal Breite bzw. jetzt eben Anzahl Kreise der langen Seite mal Anzahl Kreise der kurzen Seite. Die kürzere Seite hat hierbei genau den Wert, bis zu welchem wir unsere Summe errechnen wollen, die lange Seite hat genau einen Kreis mehr. Im grafischen Beispiel haben wir 6*7 Kreise im Rechteck, also 42. Im allgemeinen Fall, in dem wir bis zur Zahl n aufsummieren möchten, haben wir n*(n+1) Kreise im Rechteck.

Weil wir aber, wie im Bild ersichtlich, momentan doppelt so viele Kreise zusammenzählen (bzw. eben über das Produkt von Länge und Breite errechnen), als wir eigentlich wollen (die angestrebte Summe ist ja mit einem der Dreiecke bereits abgedeckt), müssen wir das Ganze einfach wieder halbieren. Im grafischen Beispiel macht das also 6*7/2=21. Ihr könnt gerne nachzählen. Im allgemeinen Fall kommen wir mit dem Teilen durch 2 genau auf die Gauß’sche Summenformel: n*(n+1)/2.

Fertig!

Alles klar so weit?

Bei Fragen: Kommentar!

Ach ja, die Zahlen von 1 bis 1.000 zusammenzuzählen ist somit auch kein Problem mehr: 1.000*1.001/2 = 1.001.000/2 = 500.500 (Das ist ziemlich viel, wollte man das von Hand ausrechnen …)

Viele Grüße

Michaela

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21 Gedanken zu “Mathe kann auch anschaulich

  1. Da gabs doch mal so ein Ding, wo man so kleine Dinger hin und herschieben konnte. Das war nicht schlecht, damit konnte man richtig rechnen wie mit einem Taschenrechner. Aber ist lang her und mein Gedächtnis ist nach der Schule gelöscht: Schule war Trauma für mich, nicht weil ich gemobbt worden wäre, sondern durch bornierte Lehrer. Lieben Gruß,PP

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    1. Du meinst einen Abakus? Dieses viereckige Ding mit den Kugeln, die man auf Stäben hin und her schieben kann? Der Sinn dieses Geräts hat sich mir nie erschlossen – Ich hab immer nur Muster damit hingeschoben. 😀 Ja ja, die lieben Lehrer … Ein paar hab ich auch noch in sehr guter Erinnerung. 😉

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      1. Abakus! Genau! Ja, aber die alten Mathematiker haben damit flott gerechnet. Mathe war übrigens mein bestes Schulfach. Man kann hier nicht viel falsch machen, weil alles logisch ineinander greift. Natürlich macht man Fehler, aber wenn man sich an die Regeln hält, kommt man immer an ..:)

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      2. So gesehen ist das Prinzip von Mathe wirklich simpel 😉 Auch im Mathestudium ist es nicht viel anders, außer dass man vom Rechnen, was man in der Schule hauptsächlich macht, zum Beweisen übergeht. Mathe ist eigentlich DAS Fach für faule Leute (also auch für mich) 😀

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  2. Ein Klassiker! Sehr schön, dass das weiter vermittelt wird ^^

    Hier eine coole (vielleicht nicht ganz so bekannte) Herleitung über das Prinzip des doppelten Abzählens:
    Lasse n+1 Personen in einem Raum sich paarweise die Hände schütteln. Die 1. Person schüttelt n Hände, die 2. Person (n-1), usw., also wird insgesamt 1+2+…+n mal die Hände geschüttelt.

    Andererseits schüttelt jeder genau mit n Leuten die Hand, das gibt n(n+1). Doch halt, wir haben doppelt gezählt, denn wenn A die Hände von B schüttelt, dann auch B von A, diese haben wir aber beides gezählt. Demnach muss noch durch 2 geteilt werden und voila n(n+1)/2.

    Wir haben zweimal das Gleiche gezählt (deshalb der Begriff „doppeltes Abzählen“!), also müssen die Größen gleich sein und somit
    1+2+…+n = n(n+1)/2.

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    1. 😀 Das Beispiel bzw. die Herleitung kenne ich auch. Ich glaube, so wurde das Thema damals in der Schule eingeführt. Statt Hände zu schütteln kann man auch das Anstoßen mit dem Sektglas betrachten. Jeder stößt mit jedem einmal an, wie viele „Bings“ hört man dann? Aber die Variante mit dem Händeschütteln ist dann wohl die jugendfreie 😉

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