Was haben Macarons mit Mathematik zu tun?

Da wir alle fleißig am Plätzchenbacken sind, dachte ich, das Thema dieses Beitrages passt jetzt ganz gut… Vielleicht habt ihr ja auch Spaß an kleinen Alltagsknobeleien^^

Es geht um Macarons. Das Macaron ist ein französisches, meist buntes Baisergebäck aus Mandelmehl, für das zwei Baiserscheiben mit einer leckeren Füllung (zum Beispiel aus Buttercreme oder Ganache) zusammengeklebt werden. Es geht jetzt aber nicht darum, wie Macarons gemacht werden. Wir befinden uns vielmehr noch einen Schritt vor dem Machen.

Und zwar haben wir uns neulich folgende Frage gestellt:

Wie viele verschiedene Macarons kann man aus t unterschiedlichen Teigen und f unterschiedlichen Füllungen zubereiten?

Och nee, jetzt fängt sie mit diesen Buchstaben und dem ganzen Mathezeugs an… Stimmt^^

Aber gleich ein Beispiel:

Wir haben rote (Himbeere), grüne (Pistazie), braune (Kakao), weiße (Vanille) und gelbe (Zitrone) Baisermasse und dazu weiße (Vanille), hellbraune (Kaffee) und rosafarbene (Himbeere) Buttercremefüllung, d. h. t wäre in diesem Beispiel 5 und f hätte den Wert 3. Wie viele verschiedene Macarons können wir daraus zusammensetzen, wobei ein Macaron aus Boden (Baisermasse), Füllung (Buttercreme) und Deckel (Baisermasse) besteht?

Die Beantwortung dieser Frage fällt in den Bereich der Kombinatorik. Die Kombinatorik ist ein Teilgebiet der diskreten Mathematik und kann euch unter anderem auch sagen, wie groß die Chance ist, den Jackpot im Lotto zu knacken^^ Ich werde mal versuchen, eine Antwort auf unsere Macaronfrage so einleuchtend wie möglich und Schritt für Schritt herzuleiten. Bei Zwischenfragen dürft ihr euch gerne melden – äh – ich meine, einen Kommentar hinterlassen ;)

Zu Beginn fällt uns gleich auf, dass es egal ist, wenn beispielsweise der Boden rot und der Deckel weiß oder der Boden weiß und der Deckel rot ist, denn am Ende kann man das Macaron einfach rumdrehen, da es keinen sichtbaren Unterschied zwischen Boden und Deckel gibt.

Und wie viele Kombinationen aus Deckel und Boden gibt es nun?

Zunächst ein Beispiel: Ist der Boden rot, dann kann der Deckel rot, grün, braun, weiß oder gelb sein (5 Möglichkeiten). Ist der Boden dahingegen grün, kann der Deckel auch rot, grün, braun, weiß oder gelb sein (5 Möglichkeiten). Aber Achtung: roter Boden und grüner Deckel bzw. grüner Boden und roter Deckel sind das Gleiche! Deswegen gibt’s also für den grünen Boden nur 4 neue Möglichkeiten in unserem Beispiel.

Für die nächste Farbe (brauner Boden) gibt’s dann nur noch 3 neue Möglichkeiten (brauner Boden mit braunem bzw. weißem bzw. gelbem Deckel). Den weißen Boden kann man noch mit sich selbst oder dem gelben Deckel kombinieren (2 Möglichkeiten) und der gelbe Boden kann nur noch mit sich selbst kombiniert werden (1 Möglichkeit). Für unsere 5 Farben gibt es also 5+4+3+2+1=15 unterschiedliche Möglichkeiten.

Ganz allgemein kann man aus t verschiedenen Teigen t+(t-1)+(t-2)+…+2+1 verschiedene Kombinationen aus Boden und Deckel zusammensetzen. Für solch eine Summe, bei der von 1 aufwärts bis zu einer festgelegten Zahl alle ganzen Zahlen zusammengezählt werden, hat – der Legende nach – Carl Friedrich Gauß eine leicht ausrechenbare Formel wiederentdeckt: die Gauß’sche Summenformel. Wollen wir also die Zahlen von 1 bis t zusammenzählen (in unserem Beispiel mit t=5 die von 1 bis 5), so sind das laut der Gauß’schen Summenformel t*(t+1)/2 Möglichkeiten.

Kurz für unser Beispiel nachgerechnet: 5*6/2=30/2=15 (passt!)

Und was ist mit der Füllung? Die kam die ganze Zeit noch gar nicht vor…

Stimmt. Die Füllung kommt jetzt.

Zunächst wieder im Beispiel: Wir haben nun also unsere 15 verschiedenen Deckel-Boden-Kombinationen vor uns liegen und 3 verschiedene Füllungen. Da ich aus jeder Deckel-Boden-Kombi 3 verschiedene Macarons machen kann (eine Kombi mit jeder der 3 Füllungen), kann ich also 15*3=45 verschiedene fertige Macarons aus 5 Teigen und 3 Füllungen herstellen – alles natürlich immer unter der Voraussetzung, dass ich genügend Material habe^^

Allgemein ausgedrückt kann ich also jede einzelne der t*(t+1)/2 Deckel-Boden-Kombis mit f Füllungen füllen, um lauter unterschiedliche Macarons zu erhalten.

Das sind also f*[t*(t+1)/2] = f*t*(t+1)/2 verschiedene Macarons.

Aus 8 Teigen und 10 Füllungen könnte man beispielsweise 10*8*9/2=360 unterschiedliche Macarons zubereiten! Mit noch zwei Teigen mehr schon 10*10*11/2=550!

War das verständlich?

Anstatt mit der Gauß’schen Summenformel könnte man das Macaronproblem auch mit Hilfe von Binomialkoeffizienten lösen (Binomialkoeffizienten sind die Dinger, die man beim Ziehen von Kugeln aus einer Urne ohne Zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge verwendet). Falls Interesse besteht, kann ich das gerne auch noch ausführen… Oder etwas zur Gauß’schen Summenformel schreiben, die man sich grafisch relativ leicht überlegen kann, oder…

Soweit aber erst mal für heute ^_^

Viele Grüße

Michaela