Da wir alle fleißig am Plätzchenbacken sind, dachte ich, das Thema dieses Beitrages passt jetzt ganz gut… Vielleicht habt ihr ja auch Spaß an kleinen Alltagsknobeleien^^

Es geht um Macarons. Das Macaron ist ein französisches, meist buntes Baisergebäck aus Mandelmehl, für das zwei Baiserscheiben mit einer leckeren Füllung (zum Beispiel aus Buttercreme oder Ganache) zusammengeklebt werden. Es geht jetzt aber nicht darum, wie Macarons gemacht werden. Wir befinden uns vielmehr noch einen Schritt vor dem Machen.

Und zwar haben wir uns neulich folgende Frage gestellt:

Wie viele verschiedene Macarons kann man aus t unterschiedlichen Teigen und f unterschiedlichen Füllungen zubereiten?

Och nee, jetzt fängt sie mit diesen Buchstaben und dem ganzen Mathezeugs an… Stimmt^^

Aber gleich ein Beispiel:

Wir haben rote (Himbeere), grüne (Pistazie), braune (Kakao), weiße (Vanille) und gelbe (Zitrone) Baisermasse und dazu weiße (Vanille), hellbraune (Kaffee) und rosafarbene (Himbeere) Buttercremefüllung, d. h. t wäre in diesem Beispiel 5 und f hätte den Wert 3. Wie viele verschiedene Macarons können wir daraus zusammensetzen, wobei ein Macaron aus Boden (Baisermasse), Füllung (Buttercreme) und Deckel (Baisermasse) besteht?

Macarons

Die Beantwortung dieser Frage fällt in den Bereich der Kombinatorik. Die Kombinatorik ist ein Teilgebiet der diskreten Mathematik und kann euch unter anderem auch sagen, wie groß die Chance ist, den Jackpot im Lotto zu knacken^^ Ich werde mal versuchen, eine Antwort auf unsere Macaronfrage so einleuchtend wie möglich und Schritt für Schritt herzuleiten. Bei Zwischenfragen dürft ihr euch gerne melden – äh – ich meine, einen Kommentar hinterlassen 😉

Zu Beginn fällt uns gleich auf, dass es egal ist, wenn beispielsweise der Boden rot und der Deckel weiß oder der Boden weiß und der Deckel rot ist, denn am Ende kann man das Macaron einfach rumdrehen, da es keinen sichtbaren Unterschied zwischen Boden und Deckel gibt.

Und wie viele Kombinationen aus Deckel und Boden gibt es nun?

Zunächst ein Beispiel: Ist der Boden rot, dann kann der Deckel rot, grün, braun, weiß oder gelb sein (5 Möglichkeiten). Ist der Boden dahingegen grün, kann der Deckel auch rot, grün, braun, weiß oder gelb sein (5 Möglichkeiten). Aber Achtung: roter Boden und grüner Deckel bzw. grüner Boden und roter Deckel sind das Gleiche! Deswegen gibt’s also für den grünen Boden nur 4 neue Möglichkeiten in unserem Beispiel.

Für die nächste Farbe (brauner Boden) gibt’s dann nur noch 3 neue Möglichkeiten (brauner Boden mit braunem bzw. weißem bzw. gelbem Deckel). Den weißen Boden kann man noch mit sich selbst oder dem gelben Deckel kombinieren (2 Möglichkeiten) und der gelbe Boden kann nur noch mit sich selbst kombiniert werden (1 Möglichkeit). Für unsere 5 Farben gibt es also 5+4+3+2+1=15 unterschiedliche Möglichkeiten.

Macarons

Ganz allgemein kann man aus t verschiedenen Teigen t+(t-1)+(t-2)+…+2+1 verschiedene Kombinationen aus Boden und Deckel zusammensetzen. Für solch eine Summe, bei der von 1 aufwärts bis zu einer festgelegten Zahl alle ganzen Zahlen zusammengezählt werden, hat – der Legende nach – Carl Friedrich Gauß eine leicht ausrechenbare Formel wiederentdeckt: die Gauß’sche Summenformel. Wollen wir also die Zahlen von 1 bis t zusammenzählen (in unserem Beispiel mit t=5 die von 1 bis 5), so sind das laut der Gauß’schen Summenformel t*(t+1)/2 Möglichkeiten.

Kurz für unser Beispiel nachgerechnet: 5*6/2=30/2=15 (passt!)

Und was ist mit der Füllung? Die kam die ganze Zeit noch gar nicht vor…

Macarons

Stimmt. Die Füllung kommt jetzt.

Zunächst wieder im Beispiel: Wir haben nun also unsere 15 verschiedenen Deckel-Boden-Kombinationen vor uns liegen und 3 verschiedene Füllungen. Da ich aus jeder Deckel-Boden-Kombi 3 verschiedene Macarons machen kann (eine Kombi mit jeder der 3 Füllungen), kann ich also 15*3=45 verschiedene fertige Macarons aus 5 Teigen und 3 Füllungen herstellen – alles natürlich immer unter der Voraussetzung, dass ich genügend Material habe^^

Allgemein ausgedrückt kann ich also jede einzelne der t*(t+1)/2 Deckel-Boden-Kombis mit f Füllungen füllen, um lauter unterschiedliche Macarons zu erhalten.

Das sind also f*[t*(t+1)/2] = f*t*(t+1)/2 verschiedene Macarons.

Aus 8 Teigen und 10 Füllungen könnte man beispielsweise 10*8*9/2=360 unterschiedliche Macarons zubereiten! Mit noch zwei Teigen mehr schon 10*10*11/2=550!

War das verständlich?

Anstatt mit der Gauß’schen Summenformel könnte man das Macaronproblem auch mit Hilfe von Binomialkoeffizienten lösen (Binomialkoeffizienten sind die Dinger, die man beim Ziehen von Kugeln aus einer Urne ohne Zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge verwendet). Falls Interesse besteht, kann ich das gerne auch noch ausführen… Oder etwas zur Gauß’schen Summenformel schreiben, die man sich grafisch relativ leicht überlegen kann, oder…

Soweit aber erst mal für heute ^_^

Viele Grüße

Michaela

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22 Gedanken zu “Was haben Macarons mit Mathematik zu tun?

  1. Ich habe das jetzt tatsächlich gelesen. So recht verstanden aber glaube ich nicht.
    Ich glaube, für mich müsstest Du das visualisieren. Ich schlage vor, Du backst die verschiedenen Versionen der Macarons und ich ess sie der Reihe nach auf, bis ich das Prinzip verstanden habe 🙂

    Das läuft dann unter angewandter Mathematik, oder?

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      1. Auch genannt „Weißes Rauschen“… Hat nichts mit dem Rauschen des Fernsehers zu tun, wenn mal wieder der nächste Sendemast ausgefallen ist^^
        Oh weh, ich glaube, langsam hat’s nichts mehr mit den Macarons zu tun. Deswegen: Bitte nicht so ernst nehmen 😉 Vielleicht kommt ja irgendwann noch mal ein Video… Wer weiß? Aber Hauptsache ist doch, dass die Macarons schmecken 😀

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      2. Stimmt, Hauptsache die Macarons sind gut 🙂
        Aber es ist doch schön, wenn man eine praktische Anwendung findet für etwas, bei dem man mal dachte „das braucht doch kein Mensch!“ 😀

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    1. Genau das ist der Trick – es möglichst kompliziert aussehen zu lassen, sodass jeder denkt, das kann nur richtig sein 😉 Im Übrigen eine beliebte Beweistechnik unter Mathe-Professoren in der Vorlesung: „Beweis durch Verwirrung“
      Viele Grüße!

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  2. Wieso so etwas Leckeres mit Mathematik in Verbindungen setzen? 😉 Ich fand deine Überlegungen aber spannend – soweit ich sie verfolgen konnte. 😉 Vielleicht käme backen bei mir auch so raus, wenn ich nur etwas begabter in Mathematik wäre… 😀
    Liebe Grüsse,
    nanacara

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    1. Vielleicht zeigt das ja, dass Mathe gar nicht so anwendungsfremd ist … Eigentlich ist Mathe ziemlich cool ^_^ Finde ich zumindest … Ein bisschen was hat es mit Begabung zu tun, das kann ich wohl nicht leugnen, aber nicht nur. Ziemlich viel auch mit Interesse. Und Schul-Mathe hat eigentlich nicht wirklich viel mit „richtiger Mathematik“ zu tun … Vielleicht ein kleiner Trost 😉
      Liebe Grüße auch an dich!

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